挖掘教材中的数学思想方法

绍兴市塔山中心小学         黄岚

小学阶段数学知识的学习是非常重要的，但让人终身受益的往往不是数学知识本身，而是数学思想方法。数学思想方法包括数学思想和数学方法。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法， 是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵所在。  

 纵观整个小学阶段数学教材的编排体系可以找到一明一暗两条主线：一条是数学知识，一条是数学思想方法。前者容易理解，后者不易看明；需要教师具备整体意识。教师钻研教材，就应如苏步青教授所言：“看书要看到底，书要看透，要看到书背面的东西。”这背面的东西，就是数学思想方法。人教版小学数学二年级教材中蕴涵着哪些数学思想方法呢？
一、数形结合的思想方法。

数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

教材中“解决问题”部分，我们常用摆图片、放小棒、画线段图的方法来解决，这是用图形来代替数量关系的一种方法，体现了数形结合的思想。例如第三册“求一个数是另一个数的几倍”的问题：“教室里进行大扫除，扫地的有7人，擦桌椅的人数是扫地的2倍，擦桌椅的有多少人？”教材第一次出现用线段图来帮助学生理清扫地人数与擦桌椅人数之间的数量关系。教师要领会教材意图，先引导学生仔细观察画面，说说图中的小朋友在干些什么？然后请学生根据图意提出一个数学问题。解决问题时请学生先用学具摆一摆。

扫地的   

擦桌椅的          

在学生用学具演示的基础上教师出示线段图，用线段的长短表示出相应的数量，进行比较，建立起两者之间的数量关系，逐步培养学生用画线段图的方法解决问题的能力。

二、符号化的思想方法

数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。

如第三册“表内乘法”练习中就有用“□”或“（ ）”代替变量 x ，让学生在其中填数。（     ）×4<29        34>5×（     ）          7×（     ）<30

（     ）×8<55        60>（     ）×9         （    ）×6<38

教师应当领会教材的意图，了解符号“（    ）”在这里起“位置占有者”的作用，从而引导学生思考、讨论一些有趣的问题：（    ）内最大能填几？最小能填几？可以填几个数？能填哪些数？然后进一步深化：将（     ）×4<29  改为 □×□<29，□里可以填哪些数？这样，学生的思考空间大大增加，同时更好地渗透了符号化的思想方法。

三、函数的思想方法

恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。如第三册“9的乘法口诀”。

1×9=9          一九得九         9×1=9

2×9=18         二九十八         9×2=18

3×9=27         三九二十七       9×3=27

4×9=36         四九三十六       9×4=36

5×9=45         五九四十五       9×5=45

6×9=54         六九五十四       9×6=54

7×9=63         七九六十三       9×7=63

8×9=72         八九七十二       9×8=72

9×9=81         九九八十一

教材通过算式的有序排列，让学生发现因数的变化引起的积的变化的规律，较好的渗透了函数的思想，其目的在于帮助学生形成初步的函数概念。教师应根据学生的学习实际，通过创设有趣的情境，激发学生的学习热情，自主列出乘法算式和乘法口诀，经过整理形成有序的式组。在寻找算式排列的特点和规律的过程中渗透函数思想方法。

四、分类的思想方法

数学中每一个概念都有其特有的本质特征，它又是按照一定的规律扩展变化的，它们之间都存在着质变到量变的关系。要正确的认识这些概念，就需要具体的概念依据具体的标准具体分析，这就是数学的分类思想，是指按某种标准，将研究地数学对象分成若干部分进行分析研究。一般我们分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。

如第四册《图形与变换》中的“锐角和钝角”，涉及到锐角、直角、钝角的区分，教材从直角入手讲解比直角大的角和比直角小的角，从而引申出锐角和钝角。教师可结合教材搜集一些生活中常见的角，然后请学生给角分一分类，通过分析比较明确三者的特点以及它们之间的联系。又如第四册“表内除法的整理和复习”中，教材要求把除法算式有规律地排一排，这里也渗透了分类的思想。引导学生可以按得数相同的整理，也可以按除数相同的整理等。分类讨论，让学生潜移默化地接受辨证唯物主义思想的启蒙教育。

五、极限的思想方法

极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。

如第四册“10000以内数的认识”，让学生数万以内的数，并鼓励学生继续往万以外数，从数数过程中让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，初步体会“无限”思想；第三册“角的初步认识”中，在学生了解了“角是由一个顶点和两条边组成的。”之后，通过课件的演示让学生体会角的两条边可以无限延长。

六、对应的思想方法

对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。

如第四册“总复习”的练习课中就设计了填数练习，向学生渗透了数与数的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。

    ÷6                                        ÷9 

48                                       27

30                                       45

42                                       18

24                                       72

七、统计的思想方法

在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体特征，这就是统计的思想和方法。例如，第四册“统计”中，教师可以创设比较两个班的学习情况的情境，以各班学生不同等级的人数比较，评定差距，有一定的说服力。渗透统计方法的普遍性和实用性。

充分挖掘教材中的数学思想方法，在教学中有效地渗透和运用，能增加学习的趣味性，激发学生的学习兴趣和学习主动性；能启迪思维，发展学生的数学智能；有利于学生形成牢固、完善的认识结构。在教学过程中，教师要既重视数学知识、技能的教学，又注重数学思想、方法的渗透和运用，这样有助于学生数学素养的全面提升，有助于学生的终身学习和发展。